Teori Dasar Pemodelan Tekanan Transien Pada Sumur Geothermal

Kontributor : Rezkia Dewi Andajani

1. Tekanan Transien.

Reservoir panas bumi terbentuk dari fluida yang terperangkap dan terpanaskan oleh sumber panas dari inti bumi, proses transfer panas yang terjadi dari batuan menuju fluida terjadi secara konduksi, sedangkan transfer panas yang meliputi fluida secara keseluruhan terjadi secara konveksi.

Secara garis besar terdapat dua jenis sistem panas bumi yaitu sistem kering (dry system) dan sistem hidrothermal (dominasi uap, dominasi air). Pada reservoir fasa yang dimiliki oleh fluida tergantung dari temperatur dan tekanan.

Di dalam artikel kali ini akan dibahas mengenai kondisi transien tekanan untuk kasus fluida geothermal dengan asumsi satu fasa yaitu air, oleh karena itu perubahan fasa yang terjadi akibat perubahan tekanan dan temperature dianggap tidak berpengaruh. Konsep yang digunakan dalam persamaan transien dijadikan sebagai teori dasar baik untuk fluida minyak maupun geothermal.

Ilustrasi dari tekanan yang mengalami kondisi transien adalah sebagai berikut :

 

Asumsikan reservoir memiliki bentuk seperti tabung dengan dua jari-jari. Sebelum sumur diaktifkan fluida dalam reservoir bergerak ke semua arah, pada saat sumur menyala fluida memasuki lubang sumur . Kondisi ini menandakan adanya perubahan syarat batas pada difusi aliran. Ketika jari-jari fluida samadengan jari-jari sumur maka syarat batas berubah menjadi

 

Syarat batas ini menjelaskan bahwa ketika radius aliran fluida bernilai sama dengan jari-jari sumur maka tekanan fluida konstan untuk nilai r tertentu, sehingga pengaruh perubahan tekanan hanya dipengaruhi oleh satu variabel dimana pada saat tersebut fluida dikatakan mengalami kondisi transien.

2. Uji Sumur.

Pemodelan tekanan transien biasanya digunakan pada saat uji sumur, salah satu tujuan melakukan pemodelan tersebut adalah untuk mengetahui kondisi reservoir pada saat dilakukan uji sumur.

Secara garis besar uji sumur dibagi menjadi dua yaitu uji sumur buildup dan uji sumur drawdown, dengan ilustrasi sebagai berikut :

Syarat batas ini menjelaskan bahwa ketika radius aliran fluida bernilai sama dengan jari-jari sumur maka tekanan fluida konstan untuk nilai r tertentu, sehingga pengaruh perubahan tekanan hanya dipengaruhi oleh satu variabel dimana pada saat tersebut fluida dikatakan mengalami kondisi transien.

2. Uji Sumur.

Pemodelan tekanan transien biasanya digunakan pada saat uji sumur, salah satu tujuan melakukan pemodelan tersebut adalah untuk mengetahui kondisi reservoir pada saat dilakukan uji sumur.

Secara garis besar uji sumur dibagi menjadi dua yaitu uji sumur buildup dan uji sumur drawdown, dengan ilustrasi sebagai berikut :

Pada uji drawdown sumur diaktifkan dalam selang waktu tertentu dengan mengusahakan fluks massa yang mengalir setiap waktu tetap konstan. Uji drawdown akan menyebabkan nilai tekanan inisial Pi lebih besar dibandingkan dengan tekanan setelah uji sumur Pr, sedangkan pada uji buildup terjadi hal yang sebaliknya. 

Berbeda dengan uji drawdown, pada uji buildup fungsi waktu yang digunakan merupakan fungsi waktu Horner (Horner Time Function). Fungsi waktu Horner dikhususkan untuk plot tekanan terhadap waktu untuk uji buildup dan hanya berlaku untuk reservoir yang tidak berhingga

3. Persamaan Numerik.

Asumsi dasar yang digunakan pada saat melakukan pemodelan transien adalah reservoir dianggap memiliki radius tidak berhingga dan memiliki pasokan fluida yang tidak terbatas, keadaan ini disebut dengan infinite radius yang akan mengacu pada penyelesaian persamaan differensial dengan menggunakan asumsi line source solution.

Beberapa hukum persamaan yang perlu diketahui adalah sebagai berikut :

3.1. Hukum kekekalan massa.

 

3.2. Persamaan Darcy.

 

3.2 Persamaan Keadaan :

a. Massa fluida.

 

b. Kompresibilitas isothermal fluida

c. Kompresibilitas batuan.

 

d. Porositas.

 

 Melalui persamaan-persamaan di atas, akan didapat suatu persamaan baru yaitu :

 

Persamaan di atas merupakan Persamaan Differensial Parsial (PDP) dengan menganggap reservoir memiliki dimensi radial.

4. Persamaan Differensial Parsial dan Line Source Solution.

Permasalahan yang terjadi adalah solusi dari persamaan transien merupakan persamaan differensial biasa bukan parsial, oleh karena itu mulai dari tahap ini line source solution digunakan untuk mengubah PDP menjadi PDB.

Persamaan line source diturunkan melalui asumsi bahwa radius sumur dianggap sangat kecil sekali dibandingkan dengan jari-jari reservoir yang tidak berhingga sehingga diibaratkan sebagai benang kecil (line), diilustrasikan sebagai berikut :

 

Tahapan awal yang dilakukan dalam mengaplikasikan PDP yang dibahas pada point sebelumnya adalah dengan mendefinisikan PDP tersebut dalam bentuk variabel tidak berdimensi :

 

Dengan mendefinisikan PDP tersebut kedalam bentuk yang tidak memiliki dimensi, kita mengubah persamaan menjadi persamaan differensial biasa. Setelah tahap ini, syarat batas line source solution dapat diaplikasikan ke dalam masing-masing variabel p, r, dan t.

Syarat Batas :

Dengan memasukkan ketiga syarat batas diatas ke dalam persamaan differensial untuk variabel tidak berdimensi, kita akan mendapatkan persamaan differensial parsial tanpa dimensi:

 

Langkah selanjutnya adalah dengan menggunakan transformasi Boltzmann yang didefinisikan :

 

Sehingga pada akhirnya didapat bentuk :

 

 

Persamaan di atas merupakan persamaan differensial biasa untuk reservoir dengan jari-jari tidak berhingga, tentunya persamaan ini belum selesai sepenuhnya, untuk mendapatkan solusi dari persamaan ini kita perlu menggunakan definisi eksponensial integral yang ditulis oleh Abromawitz dalam buku Handbook of Mathematical Functions with Formula, Graphs, amd Mathematical Tables. Solusi tekanan transien yang didapat akan berbeda-beda tergantung uji sumur yang dilakukan.

Perlu diketahui solusi untuk mengubah persamaan differensial parsial menjadi differensial biasa tidak hanya dapat dilakukan melalui line source solution namun juga dapat dipecahkan melalui persamaan Bessel.

Referensi yang dapat berguna :

1. T.A. Blasingame. (1994). Petroleum Engineering 620 Course Notes: Fluid Flow in Petroleum Reservoir Flow Solutions Lecture 3- Linear Flow Solutions Infinite Acting and Finite Acting Cases.

2. Abramowitz, M. & Stegun, I.A. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formula, Graphs, amd Mathematical Tables. United States Departement of Commerce Luther H.Hodges, Secretary- National Bureau of Standards. (halaman 229).

3. Bedrikovetsky, Peter B.P. 2008. Well Testing Analysis Theoretical Foundation: Presentation Slide. The University of Adelaide.